Ο πύργος του β - μια μαθηματική περιπέτεια

Το μονόχορδο του Πυθαγόρα και η μουσική κλίμακα

Απόσπασμα και βίντεο από την παρουσίαση του βιβλίου του Σάκη Ροδίτη

«Ο Πύργος του Β-Μια μαθηματική περιπέτεια«

Μουσική και Μαθηματικά

 

«Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι πλανήτες που ήταν σφαίρες, καθώς ταξιδεύουν στον ουρανό παράγουν μουσική λόγω της τριβής τους με τον γαλαξιακό αιθέρα. Πίστευαν ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη. Παράλληλα, διαπίστωναν ότι η μελωδία του σύμπαντος είναι τόσο ξεχωριστή, ώστε τα απλοϊκά αφτιά μας δεν μπορούν να την ακούσουν».

Το μονόχορδο του Πυθαγόρα κατασκευάστηκε ειδικά για την παρουσίαση του βιβλίου του Σάκη Ροδίτη στα Χανιά, από τον Οργανοποιό Αναστάσιο Ποταμίτη, ο οποίος μίλησε και στην εκδήλωση. Ακολουθεί το βίντεο από την εκδήλωση και απόσπασμα από το βιβλίο του Σάκη Ροδίτη…

Ο Πύργος του Β – Μια μαθηματική περιπέτεια

«Άσε τις εξυπνάδες Εβαρίστ! Προφανώς γνωρίζεις την ιστορία που διέσωσε ο Ιάμβλιχος και μου κάνεις τον έξυπνο. Αυτός είπε πως ο Πυθαγόρας ανακάλυψε την κλίμακα περνώντας έξω από ένα χαλκουργείο. Τότε ήταν που άκουσε τα σφυριά να χτυπάνε πάνω στον άκμονα και αναγνώρισε τις τρείς συμφωνίες: τετάρτης, πέμπτης και ογδόης. Άρχισε τους πειραματισμούς του κι ανακάλυψε πως η διαφορά των ήχων ήταν ανεξάρτητη από τη δύναμη των χτυπημάτων. Εκτιμώντας λοιπόν ότι οι διαφορές των ήχων σχετίζονταν με τα βάρη των σφυριών, τα ζύγισε και βρήκε ότι εκείνο που έδινε τον ήχο της 8ης ζύγιζε το μισό του βαρύτερου. Εκείνο που παρήγε την 5η ζύγιζε τα δύο τρίτα του βαρύτερου. Εκείνο που έδινε την 4η ζύγιζε τα τρία τέταρτα του βαρύτερου. Είχε την ιδέα να επαναλάβει το πείραμα στο μονόχορδο αναπαράγοντας τις ίδιες αρμονικές σχέσεις. Ίσως λοιπόν, στερεώνοντας μ’ ένα βάρος μία τεντωμένη χορδή ΑΒ πάνω στους τριγωνικούς καβαλάρηδες που βλέπεις στο σχήμα, διαιρώντας την σε τέσσερα ίσα μέρη ΑΓ=ΓΔ=ΔΕ=ΕΒ, ανακάλυψε ότι χτυπώντας ολόκληρη την χορδή ΑΒ άκουγε έναν ήχο τάδε. Αν όμως χτυπούσε το κομμάτι ΓΒ, που είναι τα 3/4 του ΑΒ, τότε άκουγε την τέταρτη του φθόγγου που είχε ακούσει αρχικά. Άλλοι ιστορικοί αναφέρουν ότι ο Πυθαγόρας έκανε την ανακάλυψή του παρατηρώντας τα βάρη των σφυριών. Αυτά ήταν ανάλογα των αριθμών 12,9,8 και 6, και έδιναν διαστήματα τετάρτης, πέμπτης και διαπασών. Ίσως έτσι να ανακάλυψε τη σχέση μεταξύ του μήκους παλλόμενης χορδής και παραγόμενου τόνου. Αποκλείεται;» ρώτησε ο Αλ.

Roditis25

«Τίποτα δεν αποκλείεται, ένα όμως είναι σίγουρο. Από τότε η μελέτη της μουσικής μετατράπηκε σε μελέτη των λόγων των διαστημάτων. Και έζησαν αυτοί καλά κι εμείς μελωδικότερα! Πάντως, για να επιστρέψουμε στο μονόχορδο, οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν στην πράξη με τα πειράματα του Πυθαγόρα. Από αυτή την κατασκευή, με μία μόνο χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο σ’ ένα τμήμα της να ταλαντώνεται, ξεκινά η δράση μας».

«Ωραία! Ας μπούμε στις λεπτομέρειες. Ο Πυθαγόρας διαίρεσε το μονόχορδο σε 12 ίσα τμήματα. Δηλαδή τόσα όσες είναι και οι ακμές του κύβου».

«Άρα», είπα πιάνοντας δύο μακρόστενα ξύλα, μία βάση και δύο πλαϊνά, «το πρώτο που πρέπει να φτιάξουμε είναι ένα κουτί σαν ηχείο και να το σημαδέψουμε χωρίζοντάς το σε 12 ίσα διαστήματα. Στη συνέχεια να καρφώσουμε στις άκρες τη χορδή που έχει μέσα το κουτί».

Πράγματι, αφού το φτιάξαμε, κάναμε τη χορδή να ταλαντώνεται σε όλο το μήκος έτσι ώστε να βγάλει ήχο. Αυτό ήταν το ντο ή υπάτη όπως την ονόμαζαν, με λόγο 1 και συχνότητα 1. Ακριβώς στη μέση τοποθετήσαμε εγκάρσια ένα μικρό ξυλάκι κι έτσι δημιουργήσαμε το διάστημα της οκτάβας, όπως περιέγραφε ο Πυθαγόρας το ντο ή τη νήτη, κατά τους αρχαίους, με συχνότητα 2/1. Μετά πήγαμε στον τέταρτο φθόγγο-διαπασών: ντο x 3/4, όπου ταλαντώνονταν τα 3/4 της χορδής, δηλαδή συχνότητα 4/3 και ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ της μουσικής κλίμακας ήταν γεγονός. Η μέση, δηλαδή το φα. Πήραμε τα 2/3 της χορδής δηλαδή συχνότητα 3/2 και προέκυψε ο πέμπτος φθόγγος, η παράμεση, το σολ. Ο δεύτερος φθόγγος προέκυψε από το λόγο του πρώτου, την υπάτη, μετά από πολλαπλασιασμό με 9/8, δηλαδή: 1 x 9/8=9/8, τα 8/9 της χορδής, το ρε.

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Ο οργανοποιός Τάσος Ποταμίτης παρουσιάζει ένα πιστό αντίγραφο του Μονόχορδου του Πυθαγόρα, το οποίο δημιούργησε ειδικά για την παρουσίαση του βιβλίου του Σάκη Ροδίτη.

Ο τρίτος φθόγγος προέκυψε από το λόγο του δεύτερου 9/8, όταν και πάλι πολλαπλασιάστηκε με 9/8 δηλαδή: 9/8 x 9/8=81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής, το μι. Ο έκτος προέκυψε από το λόγο του πέμπτου την παράμεση, που πολλαπλασιάστηκε με 9/8 δηλαδή: 1:2/3 x 9/8=27/16, γεγονός που σημαίνει πως θα ταλαντώνονταν τα 16/27 της χορδής κι αυτό ήταν το λα. Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προέκυψε από τον λόγο του έκτου, που και πάλι πολλαπλασιάστηκε με 9/8 δηλαδή: 1:16/27 x 9/8=243/128, που σημαίνει ότι για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής, άρα θα παράγεται το σι. Δηλαδή ο Πυθαγόρας με ανοιχτή τη χορδή, που σημαίνει να είναι σε τέτοια θέση όπου να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (δηλαδή με λόγο 1 και συχνότητα 1), άπλωσε το δείκτη του και απόλαυσε ένα ξεχωριστό μουσικό τόνο. Στη συνέχεια, δημιουργικός και ανήσυχος όπως ήταν, περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος και βρήκε έναν άλλο ήχο, τη διαπασών. Αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα.

Έδειξα τις σημειώσεις από την αγόρευσή μου με τους φθόγγους της Πυθαγόρειας κλίμακας κι έκανα ένα σχέδιο στο χαρτί, ώστε αν συμφωνούσε, να ολοκληρώναμε την κατασκευή του μονόχορδου.

Λόγος 1, συχνότητα 1, να ταλαντώνεται όλο το μήκος, ντο. 1/2, συχνότητα 2/1, έχουμε το διάστημα της οκτάβας, διαπασών, ντο. 3/4, ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση φα. Το σχετικό πινακάκι:

Roditis26

Σχέδιο του Μιχάλη Ροδίτη για το βιβλίο «Ο Πύργος του β – Μια μαθηματική περιπέτεια»

Roditis27

«Καταπληκτική δουλειά», ακούστηκε η φωνή του γερο-σοφού.

«Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι πλανήτες που ήταν σφαίρες, καθώς ταξιδεύουν στον ουρανό παράγουν μουσική λόγω της τριβής τους με τον γαλαξιακό αιθέρα. Πίστευαν ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη. Παράλληλα, διαπίστωναν ότι η μελωδία του σύμπαντος είναι τόσο ξεχωριστή, ώστε τα απλοϊκά αφτιά μας δεν μπορούν να την ακούσουν. Ωστόσο, πρόκειται για μια μουσική με τόση ισχύ που καθορίζει όλους τους κύκλους της ζωής, από τις τέσσερις εποχές μέχρι τα καιρικά φαινόμενα. Αρκετούς αιώνες αργότερα ο Άγιος Αυγουστίνος πίστευε ότι οι άνθρωποι ακούν τη Μουσική των Σφαιρών τη στιγμή του θανάτου τους, καθώς και ότι πρόκειται για ήχους που αποκαλύπτουν την αλήθεια του σύμπαντος. Σήμερα γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει γαλαξιακός αιθέρας με τον οποίο να έχουν τριβή οι πλανήτες. Όπως γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει πουθενά μέσα στο σύμπαν απόλυτο κενό».

«Πίστευαν μάλιστα ότι η ψυχή μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική» πετάχτηκε ο Αλ διακόπτοντας το γερο-σοφό, «μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν κι ακόμη πίστευαν ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία».

«Όχι μόνο αποκρυφιστική, μα και περιοριστική», συμπλήρωσα. «Οι εμμονές τους – όπως με τους ρητούς αριθμούς, έτσι και με την τέλεια αρμονία – περιόριζαν τους ορίζοντές τους. Τους οδήγησαν σε συμπεράσματα, όπως ότι ο κόσμος που μας περιβάλλει είναι δομημένος με βάση την τέλεια αρμονία των πάντων. Πάντως πρέπει να πούμε πως το μονόχορδο ήταν μια απίστευτη σύλληψη των Πυθαγορείων, οι οποίοι μετά   τον  αρχικό  πειραματισμό  απέδειξαν πως η αρμονία των μουσικών τόνων αντιστοιχούσε απόλυτα με την αρμονία των αριθμών σε ένα Κοσμικό Μονόχορδο».

«Σωστά όλα αυτά», είπε ο γερο-σοφός. «Ωστόσο ας θυμηθούμε ότι στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια. Κάτι που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος*, ο οποίος όμως δεν εισακούστηκε».

*Ο Αριστόξενος διατύπωσε μια άλλη αντίληψη για τον υπολογισμό των διαστημάτων, διαφορετική από την Πυθαγόρεια, σύμφωνα με την οποία ο υπολογισμός γίνεται με βάση μαθηματικές σχέσεις. Έτσι π.χ. στο διατονικό τετράχορδο αρνείται το λείμμα που προκύπτει απ’ τη διαφορά 4/3:81/64 και θεωρεί ότι με βάση την εκτίμηση του αυτιού υπάρχει μόνο ένα ημιτόνιο (το ήμισυ του τόνου), το οποίο είναι ακριβώς ίσο με την απόσταση του δεύτερου κινητού  από  τον  δεύτερο  ακίνητο  φθόγγο  του  τετραχόρδου.

Παράλληλα ο Αριστόξενος διακρίνει 6 είδη τετραχόρδων (2 διατονικά, 3 χρωματικά και το εναρμόνιο), στα οποία οι σχέσεις των βαθμίδων χαρακτηρίζονται από προοδευτική αύξηση του διαστήματος ανάμεσα σε πρώτο ακίνητο και πρώτο κινητό φθόγγο και ταυτόχρονα από προοδευτική μείωση του διαστήματος ανάμεσα στις άλλες βαθμίδες, έτσι ώστε αρχίζοντας από το διατονικό σύντονο (1, 1, 1/2) να καταλήγει στο εναρμόνιο (2, 1/4, 1/4).

©2016, Σάκης Ροδίτης & Εκδόσεις Ραδάμανθυς 

Για παραγγελίες του βιβλίου συμπληρώστε τη φόρμα επικοινωνίας:

(ή στο τηλέφωνο: 6983 091058)

(376 σελίδες, διαστάσεις 17Χ24, με εικονογράφηση)

Τιμή: 19,9

+ΦΠΑ 6% (1,2 ευρώ) + 2 ευρώ για έξοδα αποστολής

Καμία χρέωση εξόδων αποστολής για παραγγελίες δύο βιβλίων από τις Εκδόσεις Ραδάμανθυς 

Χωρίς τίτλο3

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s