Ο πύργος του β - μια μαθηματική περιπέτεια

Οι αραβικοί αριθμοί που ήρθαν από την Ινδία, το Ιερατείο και οι Αβακιστές

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ

Από το βιβλίο «Ο ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ Β – ΜΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ», του ΣΑΚΗ ΡΟΔΙΤΗ*

Κυκλοφορεί από τις Εκδόσεις Ραδάμανθυς

Ένα συναρπαστικό μαθηματικό ταξίδι στη νήσο «ΑΙΦΟΣ» (αναγραμματισμός της λέξης ΣΟΦΙΑ). Ο μυθικός Πύργος του Β περιμένει δυο ανήσυχους νέους που ρίχνονται σε ένα απίστευτο ταξίδι διατρέχοντας την ιστορία των μαθηματικών. Οι δύο φίλοι περνούν τις δοκιμασίες μέσα στις αίθουσες του πύργου, των αριθμών, του Θαλή-Πυθαγόρα, την αίθουσα του “π”, των γρίφων, των παιχνιδιών και των κατασκευών. Τα μαθηματικά, η αστρονομία, παλιότερες και σύγχρονες ανακαλύψεις, παιχνίδια με αριθμούς, ο μηχανισμός των Αντικυθήρων και πολλά άλλα συνταιριάζουν με το βίο και την πολιτεία μεγάλων προσωπικοτήτων των μαθηματικών. Οι δύο νέοι βρίσκουν εναλλακτικούς τρόπους επίλυσης προβλημάτων, τέτοιους που να τους επιτρέπουν να προσεγγίζουν σύνθετες μαθηματικές έννοιες χρήσιμες στη ζωή και την εκπαίδευση, με απλά υλικά και κατανοητά βήματα. Ένα παιδαγωγικό παιχνίδι μύησης στη μαγεία των αριθμών και της γεωμετρίας, στην εξέλιξη της ανθρώπινης σκέψης μέσα από την ιστορία των μαθηματικών.

Αραβικοί αριθμοί

roditis4«Την ώρα που μιλούσα για τον Παλαμήδη, τον Έλληνα εφευρέτη του αλφάβητου, των αριθμών αλλά και πολλών τεχνών, σκεφτόμουν ότι οι αριθμοί γεννήθηκαν μαζί με τον άνθρωπο».

«Εννοείς τα αραβικά ψηφία; Μόνο που αυτά, δεν τα ανακάλυψαν οι Έλληνες. Φαντάσου μυαλά σαν το Θαλή ή τον Πυθαγόρα ή τον Αρχιμήδη, να είχαν ένα τέτοιο εργαλείο στα χέρια τους. Σπουδαία μυαλά οι Άραβες».

«Οι Άραβες ήταν σπουδαίοι. Όμως τους αραβικούς αριθμούς δεν τους επινόησαν οι Άραβες αλλά οι Ινδοί. Αν και κάποιοι ιστορικοί του 20ου αιώνα υποστήριξαν ότι το σύστημα των δέκα ψηφίων καθώς και το δεκαδικό θεσιακό σύστημα το επινόησαν οι μαθηματικοί της αρχαίας Ελλάδας, οι οποίοι το πρόσφεραν στους Ινδούς μετά την κατάκτηση της Ινδίας από τον Μέγα Αλέξανδρο».

«Αυτό μου φαίνεται λίγο τραβηγμένο», διέκοψα τον Αλ. «Μου φαίνεται τραβηγμένο για δύο λόγους. Πρώτον: γιατί εμείς οι νεοέλληνες έχουμε την τάση να τα θεωρούμε όλα ελληνικά και δεύτερον: γιατί θα ήταν υποτιμητικό, για τόσο φωτισμένα μυαλά, να πιστέψουμε ότι είχαν στα χέρια τους ένα τέτοιο θείο δώρο και τελικά δεν το χρησιμοποίησαν».

«Βέβαια, το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης το είχαν σε χρήση. Μιας και το αλφαβητικό αριθμητικό σύστημά τους ήταν δεκαδικό. Και σίγουρα, αν είχαν επινοήσει τους Αραβικούς αριθμούς θα τους χρησιμοποιούσαν, γιατί αντιμετώπιζαν τεράστια προβλήματα στην εκτέλεση πράξεων, ιδίως στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων και μεικτών αριθμών».

«Παρόλα αυτά, γιατί άραγε οι ινδικοί αριθμοί λέγονται αραβικοί;» είπα, αφού πρώτα κοίταξα προς την κάμερα ενδοσυνεννόησης.

Το βλέμμα μου έμοιαζε με κάλεσμα προς την… κινητή μαθηματική βιβλιοθήκη. Ένα κάλεσμα στο γερο-σοφό του Πύργου για να μας δώσει τα φώτα του. Κι εκείνος παρακολουθούσε και ανταποκρίθηκε στο κάλεσμά μου. Την ίδια στιγμή ακουγόταν το τραγούδι if I cant have you. Η γνώριμη πια φωνή του Ερατοσθένη ανέτρεψε το νόημα των στίχων κι ο γερο-σοφός ανέλαβε να μας ταξιδέψει στην ιστορία της γνώσης:

pexels-photo-672630.jpeg«Στη Βόρεια Ινδία τον 5ο αιώνα μ.Χ μπήκαν οι βάσεις του λογισμού, όπως τον εφαρμόζουμε σήμερα. Οι Άραβες είχαν εμπορικές σχέσεις με τους Ινδούς. Οι έμποροι που ταξίδευαν στις μακρινές Ινδίες μετέφεραν τους ινδικούς αριθμούς στις αραβικές χώρες. Ύστερα οι Άραβες διέκριναν τα πλεονεκτήματα από τις πιθανές εφαρμογές τους. Τους αφομοίωσαν και τους ενσωμάτωσαν στους δικούς τους κώδικες. Υπάρχουν επιστήμονες που αμφισβητούν αυτό το γεγονός κι έχουν αναπτυχθεί διάφορες θεωρίες και ερμηνείες γύρω από αυτά τα θέματα. Για παράδειγμα θα ήθελα να σας παραθέσω τις απόψεις ορισμένων επιστημόνων, όπως του γνωστού Έλληνα μαθηματικού Ευάγγελου Σταμάτη[1] ο οποίος αμφιβάλλει για το αν ήταν πραγματικά οι Ινδοί αυτοί που πρώτοι επινόησαν τα σύγχρονα αριθμητικά σύμβολα. Του G.R.Kaye[2] που λέει πως ναι μεν πρωτοεμφανίστηκαν τα σύγχρονα σύμβολα στην Ινδία, όμως η έμπνευσή τους οφειλόταν στην επίδραση του ελληνικού πολιτισμού της Αλεξανδρινής εποχής. Αν θέλετε, μπορώ να συνεχίσω με κάποιες ακόμα ενδιαφέρουσες κατά τη γνώμη μου πληροφορίες για τη διαδρομή και την επικράτηση των Ινδικών-Αραβικών αριθμών».

«Θέλουμε… βεβαίως».

«Λοιπόν, η ιστορία έγινε ως εξής: Ένας Άραβας έφτιαξε εγχειρίδιο χρήσης των ινδικών αριθμών. Έντυπο που μεταφράστηκε στα λατινικά και διαδόθηκε γρήγορα».

«Όπως συμβαίνει πάντοτε, η Δύση αποφασίζει για όλο τον πλανήτη», είπα διακόπτοντας τη ροή της πληροφόρησης.

Το Ιερατείο και οι Αβακιστές

«Πάντα η ίδια ιστορία. Ο κόσμος γνώρισε τους αριθμούς από το αραβικό εγχειρίδιο και τους βάφτισε αραβικούς», συμπλήρωσε ο Αλ. «Θυμάμαι όταν είχε γυρίσει ο πατέρας μου από ένα ταξίδι στην Πορτογαλία, πόσο είχε θυμώσει. Αρπάχτηκε όταν κάποιος Πορτογάλος του είπε με τη μεγαλύτερη απλότητα πως ο μύθος «ο κόρακας και η αλεπού» ήταν του γνωστού Γάλλου La Fontaine. Ο La Fontaine μετέφρασε τους μύθους και τους έκανε γνωστούς σε όλο τον κόσμο που εύκολα πίστεψε ότι ήταν δικοί του».

«Καλά τα λέτε», είπε ο γερο-σοφός. «Όμως σκεφτείτε πως παρόλη την αδικία και την κλεψιά, οι ιδέες και η φαντασία του Αισώπου μ’ αυτόν τον τρόπο έφτασαν σε αυτιά που ποτέ δεν θα έφταναν. Αλήθεια, θέλετε να συνεχίσω το μακρύ οδοιπορικό των Αραβικών αριθμών στην Ευρώπη; Είναι σημαντικό να γνωρίζετε ότι πιο εύκολο ήταν να κλέψει ο Προμηθέας τη φωτιά από τους Ολύμπιους θεούς και να την δώσει στους ανθρώπους, παρά να παρακάμψει κάποιος το ιερατείο».

pexels-photo-951531.jpeg«Φυσικά και θέλουμε», είπαμε με μια φωνή. «Θέλουμε να μάθουμε αυτή τη διαδρομή αλλά έχουμε και μια ιδιαίτερη ευαισθησία για ζητήματα επιβολής εξουσίας από κάστες και μάλιστα από αυτές των κληρικών», συμπλήρωσα κλέβοντας την ατάκα του φίλου μου.

«Πολύ ωραία», συνέχισε ο Ερατοσθένης. «Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης εφαρμόστηκε στην Ευρώπη το 15ο αιώνα».

«Απίστευτο. Παρόλη την υπεροχή του, απέναντι στο Ρωμαϊκό ή το Ελληνικό σύστημα, καθυστέρησε τόσους αιώνες», φώναξα παραξενεμένος, ενώ με ύφος έντονο, σα να έλεγε: «κάνε λίγο υπομονή και θα τα πω όλα» ο γερο-σοφός συνέχισε: «Πολλά σημαντικά γεγονότα έχουν γίνει χάρη στους μοναχούς και να με συμπαθάτε γι’ αυτό που θα πω, όμως η αλήθεια να λέγεται. Λοιπόν, ένας θρύλος που μοιάζει αληθινός λέει πως ένας Γάλλος καλόγερος ο Ζερμπέρ ντ’ Οριγιάκ, που το 999 έγινε Πάπας με το όνομα Σιλβέστρος ο Β’, πήγε μεταμφιεσμένος στη Σεβίλλη και την Κορδούη της Ισπανίας. Πόλεις που τις είχαν καταλάβει οι Άραβες. Αφού έμαθε τον ινδοαραβικό τρόπο αρίθμησης και υπολογισμού, εισήγαγε πρώτος τους αραβικούς αριθμούς στην παιδεία μας, αλλά δυστυχώς μόνον αυτούς. Χωρίς το μηδέν και χωρίς τους υπολογισμούς ινδικής προελεύσεως».

pexels-photo-301614.jpeg«Πριν συνεχίσετε», τον διέκοψε ο Αλ, «θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο ιδεολογικού περιεχομένου. Πρώτα απ’ όλα δεν έχω ή καλύτερα… δεν έχουμε, καμία εμμονή με τους κληρικούς. Εκτιμώ αφάνταστα όλους τους ανθρώπους με αρχές. Έμαθα να σέβομαι τη διαφορετική τους οπτική γωνία. Θέλω να μαθαίνω απ’ όλους. Βέβαια, πιστεύω πως από τη στιγμή που η εκκλησία ασκεί κάποια εξουσία, το γεγονός αυτό αλλοιώνει τον προορισμό της. Οι ιερείς είναι πολύ εύκολο να χάσουν το στόχο τους και φαντάζομαι πως όλοι έχουμε αρκετά παραδείγματα όπου η  στάση τους απέναντι στους ανθρώπους δεν ήταν αντάξια του ρόλου τους. Αν καμιά φορά είμαι απόλυτος και αυστηρός απέναντί τους, είναι γιατί θεωρώ ότι υπάρχουν περιπτώσεις που εκμεταλλεύτηκαν με ανίερο τρόπο τους πιστούς».

«Ας μην ξεχάσουμε όμως και ιστορίες, όπως αυτήν του εκ Θεσσαλονίκης Κύριλλου[3]», είπε ο γερο-σοφός. «Για τις υπηρεσίες και την συμβολή του ανακηρύχτηκε, μαζί με τον αδελφό του Μεθόδιο, άγιος τον 9ο αιώνα. Το 1980 ο πάπας Ιωάννης Παύλος Β’ τους ανακήρυξε Ουράνιους προστάτες της Ευρώπης. Αυτός λοιπόν ο θεσσαλονικιός καλόγερος δίδαξε το χριστιανισμό στους Σλάβους, μαζί με τον αδελφό του Μεθόδιο. Επινόησε το αλφάβητο της σλαβικής γλώσσας, που είναι γνωστό σαν κυριλλικό αλφάβητο. Τη βάση δηλαδή του ρωσικού, του βουλγαρικού και του σερβικού αλφαβήτου».

«Αυτό το πραγματικά σημαντικό έργο το έκανε για να τους διδάξει την Αγία Γραφή. Όσο για τους… ουράνιους προστάτες της Ευρώπης… ας μην ξεχνάμε πως ο πάπας Ιωάννης Παύλος Β’ ήταν Πολωνός», σχολίασα με νόημα. Δεν ήθελα να μείνουμε με την εντύπωση ότι οι ιερείς νοιάζονταν κυρίως για τη γενικότερη μόρφωση των Σλάβων και λειτουργούσαν, δήθεν,  πέρα από τα εγκόσμια και την πολιτική.

«Καλά… καλά» πήρε ξανά το λόγο ο γερο-σοφός και συνέχισε την ιστορία του αποφεύγοντας την ιδεολογική αντιπαράθεση.

pexels-photo-220580.jpeg«Θα αναρωτιέστε τι έγινε μέχρι τον 15ο αιώνα με τους αραβικούς αριθμούς. Ποιος άλλωστε δεν γοητεύεται από την αθέατη πλευρά της Ιστορίας; Λοιπόν… για περισσότερο από 200 χρόνια γινόταν περιορισμένη χρήση των νέων ψηφίων, γεγονός στο οποίο είχε ευθύνη και η εκκλησία. Οι αραβικοί αριθμοί – αν και πέρασαν στην Ευρώπη τον 10ο αιώνα- δεν είχαν διαδοθεί ως το 13ο. Κατά τον 14ο αιώνα εμφανίστηκαν ειδικά σχολεία αριθμητικής για όσους ήθελαν να διδαχτούν την αριθμητική του εμπορίου. Για να γίνει αντιληπτή η πραγματική αιτία της καθυστέρησης πρέπει να πούμε πως αυτό δεν έγινε μόνο και μόνο γιατί υπήρξε τεράστια αντίδραση από την εκκλησία, αλλά γιατί αντιδρούσε και μια άλλη κάστα. Η κάστα των αβακιστών[4] οι οποίοι, ως βασικοί γνώστες της χρήσης του άβακα, έκαναν τους λογαριασμούς τους επ’ αμοιβή. Έτσι, υπήρχε μία σύμπνοια μεταξύ κληρικών και αβακιστών. Οι πρώτοι θεωρούσαν τους εαυτούς τους άξιους και πιστούς υπερασπιστές της μεγάλης ρωμαϊκής παράδοσης. Αυτό το γεγονός έκανε μερικούς να κατηγορήσουν ως μάγο τον Γάλλο καλόγερο Gerbert[5] που αγωνίστηκε για να πείσει πως είναι προς όφελος και όχι προς ζημία του Χριστιανισμού η ινδοαραβική παράσταση των αριθμών. Τον κατηγόρησαν ως αλχημιστή και μάγο που πούλησε την ψυχή του στο σατανά για να μεταφέρει την επιστήμη των άπιστων Σαρακηνών. Αυτή η κατηγορία κυνηγούσε το σοφό άνδρα αιώνες μετά το θάνατό του. Σε τέτοιο βαθμό που το 1648 οι Παπικές αρχές διέταξαν να ανοιχτεί ο τάφος του για να διαπιστώσουν μήπως οι διάβολοι της κολάσεως κατοικούσαν ακόμα εκεί. Ένα ακόμη γεγονός που απεικονίζει την άρνηση της αποδοχής των αραβικών ψηφίων φαίνεται και από την απαγόρευση την οποία επέβαλε η Δημαρχία της Φλωρεντίας στη χρήση των νέων συμβόλων μέχρι το 1299. Η πρόφαση ήταν ότι με αυτά μπορούσαν εύκολα να φαλκιδευτούν οι λογαριασμοί.

roditis1Οι δεύτεροι, οι αβακιστές, προφανώς δεν ήθελαν να χάσουν την πηγή πλούτου που τους απέφερε η λογιστική τους γνώση. Αυτός όμως που έκανε λειτουργικό το Αραβικό σύστημα αρίθμησης ήταν ο γνωστός σε όλους μας μαθηματικός Φιμπονάτσι[6]. Γνωστός κυρίως από την πολύ φημισμένη ακολουθία που φέρει και το όνομά του. Ακολουθία Φιμπονάτσι. Βέβαια, ενώ βρισκόμαστε στο 1202, η φιλονικία μεταξύ κληρικών – που οι περισσότεροι ήταν γνώστες της χρήσης του άβακα – και νεωτεριστών, κράτησε μέχρι τον 15ο αιώνα. Ξέρω ότι είπα πολλά. Όμως αν δεν σας κούρασα να πω κάτι ακόμα» είπε ο γερο-σοφός ζητώντας την άδεια να συνεχίσει.

«Μα κι εμείς αυτό θέλουμε», είπαμε. Και συνέχισε ο Αλ, κρατώντας στο χέρι ένα κρουασάν, από αυτά που μας είχε προσφέρει ο οικοδεσπότης μας. «Η αλήθεια είναι ότι νιώθω λίγο κουρασμένος. Μάλλον από το ταξίδι και την αλλαγή περιβάλλοντος. Αλλά ευτυχώς, όχι πεινασμένος. Όμως, δεν μας ενδιαφέρει μόνο η μαθηματική γνώση αλλά και η ανθρώπινη συμπεριφορά».

«Και πώς η εκάστοτε εξουσία παλεύει με νύχια και με δόντια να μη χάσει τα προνόμιά της. Πώς παλέψανε φωτισμένοι άνθρωποι απέναντι στην εξουσία. Πώς ο λαός χειραγωγείται. Πότε και πώς αντιδρά», συμπλήρωσα το φίλο μου.

εξώφυλλο«Πολύ ωραία!» φώναξε ο Ερατοσθένης και με νέα ζωντάνια συνέχισε: «Οι κληρικοί φοβόντουσαν ότι θα έχαναν το μονοπώλιο της εκπαίδευσης. Αφού οι νόμοι δεν μπορούσαν να επιβάλουν τη διατήρηση του παλιού συστήματος, σταδιακά έχασαν κάθε αίσθηση του μέτρου κι έκαναν σπασμωδικές κινήσεις. Η Παπική εκκλησία προσπάθησε να πνίξει το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης διαδίδοντας τη φήμη ότι ο λογισμός με την αραβική μέθοδο ήταν τόσο εύκολος, γιατί είχε κάτι το μαγικό και άρα κάτι το δαιμονικό. Πέρασαν πολλά χρόνια και το 1491, μετά από λαϊκή πίεση καθιερώθηκε ο όρος zero για το μηδέν. Από το zefirum: zefira-zero όπως αναφερόταν στο βιβλίο Liber Abbaci (1202 μ.Χ) του μεγάλου μαθηματικού Φιμπονάτσι, αντί του τίποτα που προσπαθούσαν οι κληρικοί να ταυτίσουν με το chif- fre (αριθμός) και σιγά-σιγά άρχισε η πλατιά χρήση του νέου συστήματος υπολογισμών. Το νέο σύστημα συνυπήρξε με τον άβακα μέχρι το 18ο αιώνα», είπε ο ο γερο σοφός.

Έκανε μεταβολή και χάθηκε από εκεί όπου είχε παρουσιαστεί.

Σάκης Ροδίτης


[1] Μαθηματικός (1898-1990), με ευρύτατη μόρφωση, στον οποίο χρωστάμε ένα έργο ζωής: τα Άπαντα του Αρχιμήδους σε τέσσερις τόμους, που εκδόθηκαν από το Τεχνικό Επιμελητήριο Ελλάδος στη διάρκεια των ετών 1968-1972.

[2] Ο G. R.Kaye, καθώς και άλλοι επιστήμονες όπως ο Ολλανδός καθηγητής Freudenthal του Πανεπιστημίου Utrecht και ο Neugebauer του Κέντρου προκεχωρημένων σπουδών του Princeton, υποστηρίζουν ότι την περίοδο μεταξύ 200-600 μ.Χ. όπου αρχίζει να δημιουργείται το σύστημα θέσης των αριθμών, οι Ινδοί γνώριζαν την αστρονομία του Πτολεμαίου. Διατηρεί κάποιες επιφυλάξεις ως προς την αυτονομία και την ανεξαρτησία της επινόησης αυτής των Ινδών. Παραδέχεται βέβαια ότι στην Ινδία εμφανίστηκαν τα πρώτα σπέρματα του σύγχρονου συμβολισμού των αριθμών. Αποδίδει όμως την έμπνευση της δημιουργίας αυτής στην επίδραση του ελληνικού πνεύματος. Τόσο της εποχής του Μεγάλου Αλέξανδρου, όσο και της μεταγενέστερης Αλεξανδρινής εποχής.

[3] Στις αρχές του 9ου αιώνα οι αδελφοί Κωνσταντίνος (Kύριλλος) και Μεθόδιος γεννήθηκαν και μεγάλωσαν στη συμβασιλεύουσα της Βυζαντινής αυτοκρατορίας  Θεσσαλονίκη. Το 863 μετά από αίτημα του Σλάβου ηγεμόνα  της Μοραβίας Ρατισλάβου, όταν αυτοκράτορας ήταν ο Μιχαήλ ο Γ’, ο Πατριάρχης Φώτιος επέλεξε τους Μεθόδιο και Κύριλλο, οι οποίοι διακρίνονταν για τη σοφία τους, για το δύσκολο έργο του εκχριστιανισμού των Σλάβων. Οι δύο ιερωμένοι προκειμένου να προσεγγίσουν τους λαούς αυτούς, χρησιμοποίησαν ένα νέο αλφάβητο βασισμένο στο ελληνικό, το οποίο μπορούσε να αποδώσει τους φθόγγους της σλαβικής γλώσσας και ήταν έργο του Κύριλλου.

[4] Ευρωπαίοι και Ασιάτες (ιδιαίτερα Ινδοί) μαθηματικοί του Μεσαίωνα καταγίνονταν με την τέχνη των αριθμητικών υπολογισμών που τότε ονομαζόταν αβαξ. Αγνοούσαν εντελώς τις έρευνες των αρχαίων Ελλήνων για τη γεωμετρία. Ήταν αυτοί που κατ’ αποκλειστικότητα γνώριζαν τη λειτουργία του άβακα. Ο άβακας είναι ένα απλό αριθμοόργανο για την εκτέλεση βασικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό). Χρησιμοποιούταν για αιώνες, πολύ πριν από την υιοθέτηση του συστήματος των Αραβικών αριθμών οι οποίοι χρειάστηκαν 2 αιώνες (13ος – 15ος) για να επικρατήσουν.

[5] Ο Gerbert γεννήθηκε γύρω στα 945 π.Χ στην Auvergne της Γαλλίας και λόγω της προσπάθειάς του να μεταφέρει πολιτισμικά στοιχεία από το Ισλάμ κατηγορήθηκε από θρησκευτικούς κύκλους ότι μελέτησε τις μαγικές τέχνες και την αστρονομία στις Ισλαμικές πόλεις Córdoba και Seville κι ακόμη στο πανεπιστήμιο του Al Karaouine στο Μαρόκο. Παρόλο που στη διάρκεια της ζωής του είχε καταφέρει να εκλεγεί πάπας με το όνομα Σιλβέστρος ο Β΄, έφτασαν στο σημείο να ανοίξουν τον τάφο του το 1648 μ.Χ για να διαπιστώσουν αν είχε κυριευτεί από δαίμονες.

[6] O Leonardo Fibonacci ήταν γιος του Γκιγιέρμο Μπονάτσι και γεννήθηκε το 1175 στην Πίζα της Ιταλίας. Ήταν έμπορος και μαθηματικός. Έγραψε πολλά έργα με σπουδαιότερα τα δύο βιβλία του, το Liber Abbaci (βιβλίο του άβακα, δηλ. εγχειρίδιο της αριθμητικής) με πολλές εκδόσεις και την Pratica Geometria (Πρακτική Γεωμετρία).

Σάκης Ροδίτης Εκδόσεις Ραδάμανθυς

Ο Σάκης Ροδίτης στην παρουσίαση του βιβλίου στα Χανιά. Δεξιά του διακρίνονται οι: Σήφης Μιχελογιάννης και Δημήτρης δαμασκηνός, ομιλητές στην εκδήλωση που έγινε στον Ιστισοπλοϊκό Όμιλο Χανίων-Νεώριο Μόρο, σε κοινή διοργάνωση με το παράρτημα Χανίων της Μαθηματικής Εταιρείας, τις Εκδόσεις Ραδάμανθυς, την Επιτροπή Χανίων της Διεθνούς Εταιρείας Φίλων Νίκου Καζαντζάκη και το εργαστήρι οργανοποιίας του Αν. Ποταμίτη.

*Ο Σάκης Ροδίτης, μαθηματικός και βραβευμένος συγγραφέας από το Υπουργείο Παιδείας για το βιβλίο «Τα μαθηματικά και ο χαρταετός», επιστρέφει με ένα συναρπαστικό μυθιστόρημα. Άνθρωπος με έντονη κοινωνική δράση και με συμβολή στα εκπαιδευτικά και πολιτιστικά δρώμενα, έχει διατελέσει επιμορφωτής εκπαιδευτικών, με έμφαση στην εμψύχωση ομάδων παιδιών και στη βιωματική εκπαίδευση. Απόφοιτος του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών, έχει παρακολουθήσει ετήσια και πολύμηνα εκπαιδευτικά σεμινάρια, μεταπτυχιακό-επιμορφωτικό πρόγραμμα συμβουλευτικής για τον Σχολικό Επαγγελματικό Προσανατολισμό, σεμινάρια εκπαίδευσης, εμψύχωσης νέων, περιβαλλοντικής εκπαίδευσης, θεατρικού παιχνιδιού, καθώς και σεμινάρια καρναβαλικών κατασκευών, μάσκας κ.λπ. Ο Σάκης Ροδίτης είχε πάρει μέρος στην ομάδα εργασίας του Τομέα Παιδαγωγικής, Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, για τη συγγραφή Λογισμικού Διδασκαλίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής με Η/Υ σε σχολεία, σε συνεργασία με την «KEYSTONE». Είναι από τα ιδρυτικά μέλη του Κέντρου Δημιουργικής Απασχόλησης Πάτρας και από το 2000 πρόεδρος του συλλόγου «Α.Σ.Τ.Ο-Επικοινωνούμε». Υπήρξε μέλος πολλών πολιτιστικών συλλόγων στην Αθήνα και την Πάτρα, καθώς και της ομάδας εποπτικών μέσων της Μαθηματικής Εταιρείας της Πάτρας. Από το 1991 μέχρι το 2000 ήταν μέλος της επιτροπής λειτουργίας του Κ.Δ.Α. της κίνησης Πρόταση κατά των ναρκωτικών στην Πάτρα. Διετέλεσε επίσης μέλος στο Δ.Σ. της ΕΛΜΕ Αχαΐας. Εργάζεται στη Δημόσια Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση από το 1981 και από το 1985 στο 17ο γυμνάσιο Πάτρας, ως μαθηματικός και σύμβουλος επαγγελματικού προσανατολισμού.

Για παραγγελίες του βιβλίου συμπληρώστε τη φόρμα επικοινωνίας ή καλέστε στο 6983091058

Τιμή βιβλίου: τώρα 17,40 από 23,40

ΔΩΡΕΑΝ ΑΠΟΣΤΟΛΗ σε Ελλάδα και Κύπρο με αγορές άνω των 30 ευρώ 

  • Αγορά με αντικαταβολή: κόστος αποστολής 3,00 + κόστος αντικαταβολής 2,00
  • Αγορά με εξόφληση μέσω τράπεζας: κόστος αποστολής 3,00 ευρώ.

[Λογαριασμοί κατάθεσης]

Εθνική: 836/370245-69 και IBAN GR0601108360000083637024569

Πειραιώς: 6569-102972-851 και IBAN GR24 0171 5690 0065 6910 2972 851

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

w

Σύνδεση με %s